การเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ

1.  ความหมายของการเคลื่อนที่

1.1  การเคลื่อนที่ (Motion) หมายถึง  ขบวนการอย่างหนึ่งที่ทำให้มีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งอย่างต่อเนื่องตามเวลาที่ผ่านไป โดยมีทิศทางและระยะทาง

                1.2  การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง (Rectilinear motion) หมายถึง  การเคลื่อนที่ของวัตถุที่เป็นแนวเส้นตรงซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างความเร็ว เวลา ความเร่ง และระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ (นันทพงษ์  ลายทอง และคณะ, 2549)

       ลักษณะการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง  สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวซึ่งมีการเคลื่อนที่นั้นจะมีการเคลื่อนที่แตกต่างกันออกไป  เช่น การเคลื่อนที่ในแนวตรง  แนวโค้ง เป็นวงกลม  หรือกลับไปกลับมาในการที่เราจะพิจารณาว่าวัตถุมีการเคลื่อนที่หรือไม่  พิจารณาที่ มีการเปลี่ยนตำแหน่งหรือไม่  ถ้ามีการเปลี่ยนตำแหน่ง ถือเป็นการเคลื่อนที่

1.3  การบอกตำแหน่งของวัตถุ การบอกตำแหน่งของสิ่งต่าง ๆ นั้นทำได้โดยการบอกตำแหน่งเทียบกับตำแหน่งหรือสิ่งที่สังเกตได้โดยง่าย  ซึ่งเรียกว่า ตำแหน่งอ้างอิงหรือจุดอ้างอิง  ซึ่งต้องเป็นจุดที่หยุดนิ่ง

2.  ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่

                2.1  เวลา  (Time, t) การที่จะทราบว่าวัตถุเคลื่อนที่หรือไม่ จะเริ่มจากการสังเกตวัตถุนั้นในช่วงเวลาหนึ่ง  ซึ่งจุดที่เริ่มสังเกตจะนับเวลาเริ่มต้น ณ จุดนั้นมีค่า t = 0  จากนั้นเมื่อเวลาผ่านไป วัตถุจะมีการเปลี่ยนตำแหน่ง ช่วงเวลาที่สังเกตจะเป็นเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ซึ่งถ้าไม่ทราบค่าแน่นอนจะใช้ t  แทนช่วงเวลาดังกล่าว โดยมีหน่วยเป็นวินาที (s)

                2.2  ระยะทาง (Distance, s) หมายถึง  แนวเส้นที่วัตถุเคลื่อนที่ไปโดยนับจากจุดเริ่มต้นอ้างอิง ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่จะเพิ่มขึ้นตามเวลาที่ผ่านไป การวัดระยะทางจะวัดตามแนวทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไป  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรงก็วัดระยะทางได้ง่ายขึ้น  แต่ถ้าแนวทางไม่เป็นเส้นตรงก็จะวัดระยะทางได้ลำบาก  ระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ตามเส้นทางที่วัตถุนั้นเคลื่อนที่จริง ๆ โดยไม่คำนึงว่าวัตถุจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงหรือไม่  ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์

                2.3 การกระจัด (Displacement, d) หมายถึง  การที่วัตถุเคลื่อนที่จากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งโดยการเคลื่อนที่จากตำแหน่งเริ่มต้นไปยังตำแหน่งสุดท้าย  โดยมีทิศทางจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเป็นเมตร (m) (นันทพงษ์  ลายทองและคณะ, 2549)

                                                                                               รูป ภาพที่  3.2  การกระจัด

                    สรุป ระยะห่างตามแนวเส้นตรงระหว่างจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย  เป็นปริมาณเวกเตอร์  มีขนาดเท่ากับระยะห่างและทิศทางจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสุดท้าย

                    ข้อเปรียบเทียบระหว่างระยะทางกับการกระจัด

                    1.  ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์  การกระจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์

                    2.  ขนาดของระยะทางจะมากกว่าการกระจัดเสมอ ถ้าวัตถุนั้นไม่ได้เคลื่อนที่ใน

แนวเส้นตรงตลอด  เช่น วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จาก A ไปทางทิศตะวันออก ถึง B  เป็นระยะทาง 12  เมตร  แล้วเคลื่อนที่ต่อไปทางทิศเหนือ ถึง C เป็นระยะ  5  เมตร

                                                                                                  รูปภาพที่  3.3   การหาการกระจัด  

                                                                          ระยะทาง =  AB + BC = 12 + 5 = 17  เมตร                                                                 

                           3. ขนาดของระยะทางกับการกระจัดมีโอกาสเท่ากันได้  ถ้าวัตถุนั้นเคลื่อนที่โดยไม่มีการเปลี่ยนทิศทาง 

                  2.4 อัตราเร็ว คือ  ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ในหนึ่งหน่วยเวลาเป็นปริมาณสเกลาร์  ไม่คำนึงถึงทิศทาง  มีหน่วยเป็นเมตร / วินาที

                        ตัวอย่างที่  3.1  จงหาอัตราเร็วของการเคลื่อนที่จากจุด  A  ไปจุด  B  ซึ่งมีระยะทาง 750  เมตร  เวลาในการเดินทาง  10  วินาที

   วิธีทำ                  

                                                                                                                                    =     75      m/s                           ตอบ

                     2.5  ความเร็ว (velocity)  คือ  ระยะการเปลี่ยนแปลงการกระจัดหรือระยะการเปลี่ยนตำแหน่งที่เกิดขึ้นในหนึ่งหน่วยเวลา  เป็นปริมาณเวกเตอร์   มีหน่วยเป็นเมตร / วินาที                                                                                                                                    

                     2.6 ความเร็วเฉลี่ย (average  velocity) เป็นความเร็วที่เฉลี่ยว่าความเร็วของการเคลื่อนที่แต่ละจุดเป็นเส้นทางที่วัตถุเคลื่อนที่มีค่าเท่ากัน  เป็นการเปลี่ยนแปลงการกระจัดในช่วงเวลายาว ๆ  มีทิศเดียวกัน  ซึ่งกำหนด  u  =  ความเร็วต้น  และ     =   ความเร็วปลาย

 

ตัวอย่างที่ 3.2  รถคันหนึ่งวิ่งด้วยความเร็วเฉลี่ย 5 เมตร/วินาที  ถ้าใช้เวลาในการวิ่งไป  20 วินาที จะมีการกระจัดเท่าใด

วิธีทำ                       

การหาความเร็วเฉลี่ยและ ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งจากกราฟ

ถ้าเขียนกราฟระหว่างการกระจัด  d    และเวลา  t  ความชันของเส้นตรงที่ลากระหว่างตำแหน่งคู่ใด  ๆ  คือ ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ระหว่างตำแหน่งทั้งสอง

                                                                                                                                                       

                                                                             รูปภาพที่ 3.4 แสดงกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง d กับ t

                        จากกราฟความชัน(slope) ของเส้นตรงที่ต่อระหว่าง A และ B  คือความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่ในช่วง AB  หรือเป็นความเร็วเฉลี่ยในช่วง  t1 ถึง  t2  

 

                        ข้อเปรียบเทียบระหว่างอัตราเร็วกับความเร็ว

                        1.  อัตราเร็วเป็นปริมาณสเกลาร์ ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์

                        2.  ถ้าวัตถุเคลื่อนที่โดยไม่เปลี่ยนทิศทาง (เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง) ขนาดของความเร็ว คือ อัตราเร็ว

                        3.  อัตราเร็วจะมีค่าเปลี่ยนแปลงเมื่อขนาดเปลี่ยนแปลง

                        4.  ความเร็วจะเปลี่ยนแปลงเมื่อ

                                          4.1  ขนาดเปลี่ยนแปลง

                                          4.2  ขนาดคงที่แต่ทิศทางเปลี่ยนแปลง  เช่น  วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่  ความเร็วของการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา  ทั้งนี้เพราะเส้นทางของความเร็วเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

                         ถ้าพิจารณาการเคลื่อนที่ที่ยาวขึ้น  ความเร่งขณะหนึ่งอาจมีค่าไม่คงที่  อาจเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้ จึงนิยมบอกความเร่งในรูปของอัตราเร่งเฉลี่ย a ซึ่งเป็นอัตราส่วนระหว่างความเร็วที่เปลี่ยนไปทั้งหมดกับช่วงเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงความเร็วนั้น

                        ในภาษาไทย คำว่าเร่งหมายถึงทำให้เร็วขึ้น  แต่ในทางฟิสิกส์เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว  ซึ่งการเปลี่ยนแปลงอาจมีทั้งเร็วขึ้นหรือช้าลง   (ถ้าช้าลงเราเรียกว่าความหน่วง(Deceleration) เร็วขึ้นเรียกว่าความเร่ง ซึ่งก็คือความเร่งในทางฟิสิกส์ ต่างกันที่ทิศทาง)

                       

                  ตัวอย่างที่  3.3  รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวตรง  โดยมีความเร็วเริ่มต้น 10 m/s และมีความเร็วเพิ่มขึ้นทุก ๆ 1 S  ซึ่งแสดงในตาราง  จงหาความเร่งเฉลี่ยและความเร่งขณะหนึ่งที่เวลา t = 1, 2 และ 3 S

เวลา(วินาที)

ความเร็ว (เมตร/วินาที)

0

1

2

3

4

5

10

11

12

13

14

15

 

ตารางที่  3.1  การเคลื่อนที่ของรถยนต์ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     3.กฎการเคลื่อนที่(Lows of motion)

                      กฎของการเคลื่อนที่ซึ่งเสนอโดยท่าน เซอร์ไอแซค นิวตัน เป็นหัวใจของวิชากลศาสตร์เราอาจกล่าววได้ว่าหลักการ (principles) ทุกหลักการในวิชานี้งอกเงยมาจากกฎ(ของ)การเคลื่อนที่นี้กฎเหล่านี้ไม่ได้มาจากการทำการทดลองหาโดยตรง แต่มาจากการสังเกตปรากฎการณ์ธรรมชาติและจากสมองสุดล้ำเลิศของนักฟิสิกส์สำคัญคนหนึ่งที่มนุษยชาติเคยมี ท่านนั้นคือเซอร์ไอแซค นิวตัน กฎการเคลื่อนที่นี้มีอยู่สามข้อ ดังนี้

                        3.1  กฎการเคลื่อนที่ข้อที่หนึ่ง: กฎของความเฉื่อย(Law of Inertia)   “วัตถุจะคงสภาวะอยู่นิ่ง หรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนวเส้นตรง หากไม่มีแรงมากระทำให้เปลี่ยนสภาวะนั้น ๆ ไป”  กฎข้อนี้เท่ากับเป็นการให้คำจำกัดความของระบบอ้างอิงแบบที่เรียกว่า ระบบอ้างอิงเฉื่อย (inertial frames of reference) และพร้อมกันก็นำมาซึ่งแนวคิดเกี่ยวกับความเฉื่อย(inertia)  (วุทธิพันธุ์ ปรัชญพฤทธิ์,2549)

                                          

                       3.2  กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สอง: กฎของแรง (Law of Force)   “เมื่อมีแรงลัพธ์ซึ่งมีขนาดไม่เป็นศูนย์มากระทำต่อวัตถุ จะทำให้วัตถุเกิดความเร่งในทิศเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทำ และขนาดของความเร่ง จะแปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ และจะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ”

    

                      

                          3.3 กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สาม: กฎของแรงกิริยา-ปฏิกิริยา(Law of Action-Reaction)

   “ทุกครั้งที่มีแรงกิริยา จะต้องมีแรงปฎิกิริยาโต้ตอบต้องขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม”  แรงกิริยา(action) = แรงปฏิกิริยา (Reaction)

                                                   F1    =   – F2  (สุรางคณา  แก่นโนนสังข์ , 2549)                     

                        3.4  กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน  “วัตถุทั้งหลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยขนาดของแรงดึงดูดระหว่างวัตถุคู่หนึ่ง ๆ จะแปรผันตรงกับผลคูณระหว่างมวลวัตถุทั้งสองและจะแปรผกผันกับกำลังสองของระยะทางระหว่างวัตถุทั้งสองนั้น”   

                                                    

                        เมื่อ G คือ ค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากลมีค่า 6.67 x 10-11  N.m2/kg2  (จารุณี  เชิดชัยสถาพร , 2550)

                       ตัวอย่างที่  3.4  ดาวเคราะห์ดวงหนึ่งมีมวล 12 ´ 108  กิโลกรัม รัศมี  2 ´ 102  เมตร ดาวเคราะห์จะมีแรงดึงดูดดวงจันทร์บริวารซึ่งมีมวล 2 ´ 103  กิโลกรัม อยู่ใกล้ๆผิวของดาวเคราะห์

  

                สำหรับการเคลื่อนที่แนวตรงด้วยความเร็วคงตัว  ระยะทางที่ได้จะเท่ากับผลคูณระหว่างความเร็วกับช่วงเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่นั้น ถ้าพิจารณาจากกราฟ ผลคูณระหว่างความเร็วกับช่วงเวลาคือพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว – เวลา นั่นแสดงว่าพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว – เวลา ในช่วงเวลาที่กำหนดคือ ระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ หรือการกระจัดที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลานั้น

                                                        

รูปภาพที่ 3.5  กราฟ t กับ ความเร็วขณะหนึ่ง

  

4.  การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงตามแนวราบ

                        4.1  เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่

                         4.2  สมการสำหรับคำนวณหาปริมาณต่าง ๆ การเคลื่อนที่แนวตรง ตามแนวราบ ด้วยความเร่งคงตัว

                     

เมื่อ  u  เป็นความเร็วต้น  เมื่อเริ่มคิดเวลา (t = 0 )  ขนาดของ u นี้อาจมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่เท่ากับศูนย์ก็ได้  หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที (m/s)

        t  เป็นช่วงเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด (กำหนดเวลาเริ่มต้นที่ t = 0 ) หน่วยเป็นวินาที (s)

       S เป็นการกระจัดที่เปลี่ยนไปในช่วงเวลา    หน่วยเป็นเมตร (m)

       v  เป็นความเร็วสุดท้ายของช่วงเวลา t   หรือเป็นความเร็วเมื่อสิ้นช่วงเวลา  t  หน่วยเป็น

เมตรต่อวินาที (m/s)

       a  เป็นความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลา t   หน่วยเป็นเมตรต่อวินาที 2 (m/s2)

                        กรณีวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวในแนวราบกำหนดให้ปริมาณที่มีความเร็วเพิ่มขึ้นค่า a  เป็นบวก และถ้าความเร็วลดลงค่า  a  เป็นลบ

                        กรณีวัตถุออกจากสภาพนิ่งค่า   u  =  0

                        กรณีวัตถุเคลื่อนที่แล้วหยุดค่า    = 0

                        กรณีวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวค่า   a = 0

       

                         ตัวอย่างที่  3.5  วัตถุเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่งไปด้วยความเร่ง  4  m/s2  นาน  5  s   

ถ้าแล่นต่อไปด้วยความเร็วคงที่  เป็นเวลา 20  s  ต่อจากนั้นก็ลดความเร็วลงด้วยความหน่วง  5  m/s2 จนหยุด  จงหา

                        ก.  ระยะที่วัตถุนั้นแล่นไปได้ทั้งหมด 

                        ข.  เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด

วิธีทำ      ก.  ระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้ทั้งหมด  นั้นแบ่งหาเป็น  3  ช่วง

               ช่วงแรก   โจทย์กำหนดให้   u = 0  m/s      a = 4  m/s2      t = 5 s  หาระยะทางในช่วงแรก

              จากสูตร                S =  ut + at2

               แทนค่า                S =  0 m/s (5 s) + (4 m/s2) ( 5 s)2

                             S  =  50  m

              ช่วงที่ 2  เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ จะได้  a = 0   และต้องหาความเร็วเมื่อเคลื่อนที่ได้ระยะ 200  m แรก

              จากสมการ            =   u2 + 2as

              แทนค่า                 =  (0  m/s) 2  + 2(4 m/s2 )(50 m)

                                             =      400   m/s 

                                             =        m/s

                                             =   20   m/s 

                จะได้ระยะในช่วงที่ 2  โดยใช้สมการ  S  =  v t

                               แทนค่า  S  =  20 m/s ´  20  s

               จะได้ระยะในช่วงที่ 2  เป็น 400 เมตร

                ช่วงที่ 3            u  =  20  m/s       a =  – 5  m/s2             v = 0 

               จากสมการ          =  u2 + 2as

               แทนค่า             0  =  (20  m/s) 2  + 2(- 5 m/s2 )( S)

                                  10 S  =  400  m  

                                      S   =  40  m

                                                          ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ =  50 +  400 + 40    =  490  m                                ตอบ

                 ข.  หาเวลาในช่วง สุดท้าย    แล้วนำมารวมกับเวลาในช่วงที่ 1 และ 2  จะได้เวลาที่ใช้ทั้งหมด  

                        u = 20  m/s        a = – 5  m/s2        =  0    หาเวลาในช่วงสุดท้าย

                  จากสมการ                 =    u + at

                  แทนค่า                  0      =   (20 m/s) +  (- 5 m/s2)  t s

                              (5 m/s2)  t      =    20 m/s

                                             t      =    4   s

                   จะได้เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็น  5  +  20 + 4  =  29  S                   ตอบ

 

                     4.3.  กราฟการกระจัด – เวลา

                                    กราฟการกระจัด – เวลา  มีประโยชน์สำหรับในการหาปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุ  เช่น  รถยนต์คันหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงจากจุด A  ที่เวลา t1 = 0  วินาที  ถึงจุด B ที่เวลา

t2 = t  วินาที  ได้การกระจัด S  เมตร

                                                                                                                 รูปภาพที่ 3.6  รถยนต์ A ,B

                                                                                         รูปภาพที่ 3.7  แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง S กับ t 

                        1.  การกระจัด S  เป็นบวก และกราฟเป็นเส้นตรง  แสดงว่ารถเคลื่อนที่ไปทิศทางเดียวไม่ย้อนกลับ

                        2.  การกระจัด S  แปรผันตรงกับเวลา  และกราฟเป็นเส้นตรง แสดงว่าความเร็วคงที่  สามารถหาความเร็วได้จากความชัน (Slope)ของกราฟ

                               

                         4.4  กราฟความเร็ว – เวลา

                                   วัตถุอยู่นิ่งกับที่และวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่จะมีความเร่งเป็นศูนย์  วัตถุที่เปลี่ยนความเร็วจะมีความเร่ง  ดังนั้นความเร่งสามารถหาได้จากกราฟความเร็ว – เวลา

                                                                                  รูปภาพที่  3.8 แสดงกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง  t  กับ

        สำหรับเส้นกราฟ 1

                        1.  ความเร็วคงที่  30 m/s ไม่ว่าเวลาจะผ่านไปเท่าใดก็ตาม

                        2.  สามารถหาการกระจัดของการเคลื่อนที่ได้จากพื้นที่ใต้กราฟ  ดังนี้

                             การกระจัด = พื้นที่ใต้กราฟ  =  (30 m/s) (6s)  = 180  เมตร

                        3.  หาความเร่งของการเคลื่อนที่จากความชันของกราฟ = 0

        สำหรับเส้นกราฟ 2

                        1.  ความเร็วเป็นบวก  และเพิ่มขึ้นเมื่อเวลามากขึ้น

                        2.  ความเร็วแปรผันตรงกับเวลา  ได้กราฟเป็นเส้นตรง

                        3.  การกระจัดหาได้จากพื้นที่ใต้กราฟ

                             การกระจัดในช่วงเวลา 0 – 4  วินาที  =  = 100  เมตร

                        4.  ความเร่งหาได้จาก ความชันของเส้นกราฟ

                             ความเร่ง = ความชันของเส้นกราฟ =   = 12.5   m/s2

 

                       4.5  การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในแนวดิ่งภายใต้แรงดึงดูดของโลก

        การเคลื่อนที่ของสิ่งต่าง ๆ ที่พบเห็นในชีวิตประจำวัน  ส่วนใหญ่ถ้าพิจารณาโดยหลักการทางฟิสิกส์จะพบว่าเป็นการเคลื่อนที่แบบมีความเร่ง  ซึ่งมีทั้งความเร่งคงตัวและความเร่งที่เปลี่ยนแปลง  ในการศึกษาเบื้องต้น  จะศึกษาเฉพาะการเคลื่อนที่แนวตรงด้วยความเร่งคงตัว จากการศึกษา การตกแบบเสรี (Free  fall)  ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ปล่อยให้ตกภายใต้แรงดึงดูดของโลกเพียงอย่างเดียว ( ไม่คิดแรงต้านหรือแรงเสียดทานของอากาศ)

        ความเร่งในการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกอย่างอิสระหรือตกแบบเสรีนี้  คือ  ความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของโลก (Acceleration  due  to  gravity) ใช้  g เป็นสัญลักษณ์  ซึ่งมีค่าประมาณ  9.80665  m/s2  ซึ่งเป็นค่าที่หาได้จากค่าเฉลี่ยทุกจุดของโลก   เพื่อความสะดวกมักจะใช้ค่า   g = 9.8 m/s2 หรืออาจใช้  10 m/s2

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s